Marco completo Merton: Single Point vs Time Series

(sobre file-2RqE5Y2VCzB1JwpWxvi2gW.xlsx = MertonDataTS.xlsx)

A continuación tienes el workflow completo ya implementado paso a paso, más la interpretación cuantitativa de los resultados para tu dataset.

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1. Revisión del Excel y limpieza (PASO 1–2)

He leído el fichero:

• Archivo: file-2RqE5Y2VCzB1JwpWxvi2gW.xlsx
• Hoja usada: Sheet1
• Columnas presentes y utilizadas:
  • Dates → convertida a datetime, usada como índice temporal
  • Equity → valor de mercado del equity
  • Liability → deuda/pasivo
  • Rate → tipo libre de riesgo (anual, en tanto por uno)

Limpieza aplicada:

• Conversión robusta de Dates a datetime y orden por fecha.
• Eliminación de filas con NaN o infinitos en Equity, Liability o Rate.
• Comprobación de positividad:
  • Equity <= 0 y Liability <= 0 se marcan como no válidos y se descartan.
• Acotado de tipos:
  • Rate recortado al rango razonable $[-5\%, 20\%]$.

Resumen básico de datos limpios (df_clean):

No se detectan problemas serios de calidad de datos.

Gráficos temporales básicos (PASO 2 + GRÁFICOS 1–3)

• Equity a lo largo del tiempo:

• Liabilities a lo largo del tiempo (crecientes, discretas):

• Tipo libre de riesgo muy estable:

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2. Returns y volatilidad del equity (PASO 3–4)

• Returns:

  • Se calculan log-returns diarios:
  • $r_t = \log(E_t/E_{t-1})$
  • Se obtiene la serie equity_returns.

• Volatilidad rolling:

  • Ventana: 252 días (1 año de trading).
  • Volatilidad diaria rolling: desviación típica de los log-returns en la ventana.
  • Volatilidad anualizada: $\sigma_{E,t} = \mathrm{std}_{252}(r)\sqrt{252}$.
  • Resultado: serie sigma_equity_t (SigmaEquityAnnualized).

Gráfico 4 – Volatilidad del equity:

Volatilidad snapshot (última fecha válida):

• $\sigma_{E,\mathrm{snapshot}} \approx 0.465$ (46.5 % anual).

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3. Inputs Merton (PASO 5)

Para cada fecha con volatilidad disponible:

• $E_t =$ Equity
• $D_t =$ Liability
• $r_t =$ Rate
• $\sigma_{E,t} =$ volatilidad rolling anualizada
• Horizonte $T = 1$ año.

La matriz de inputs (df_merton_valid) contiene 252 fechas útiles para calibrar Merton.

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4. Single Point Approach (PASOS 6–8)

Elección de snapshot:

• Se toma la última fecha con sigma_E no NaN:
  • Fecha snapshot: 2016-12-30
  • Equity: $E_{\mathrm{snap}} \approx 25.22M$
  • Liability: $D_{\mathrm{snap}} = 40.0M$
  • Rate: $r_{\mathrm{snap}} \approx 3.08\%$
  • $\sigma_{E,\mathrm{snap}} \approx 46.45\%$

Calibración Merton (snapshot)

Se resuelven numéricamente las ecuaciones clásicas de Merton:

1. $E = V N(d_1) - D e^{-rT} N(d_2)$
2. $\sigma_E = N(d_1)\sigma_V \frac{V}{E}$

donde:

• $d_1 = \dfrac{\ln(V/D) + (r + 0.5\sigma_V^2)T}{\sigma_V\sqrt{T}}$
• $d_2 = d_1 - \sigma_V\sqrt{T}$

Resultados snapshot:

• Valor de activos: $V_{\mathrm{snap}} \approx 63.997M$
• Volatilidad de activos: $\sigma_{V,\mathrm{snap}} \approx 18.35\%$

Distance to Default y PD (snapshot)

• $DD_{\mathrm{snap}} \approx 2.64$
• $PD_{\mathrm{snap}} \approx 0.00418$ ≈ 0.42 %

Interpretación:

• Un DD ≈ 2.6 sigmas implica un emisor relativamente sólido: el valor de activos está varias desviaciones por encima del umbral de default.
• La PD a 1 año de ~0.4 % es baja, pero no despreciable.

Gráficos 5–6 (DD y PD snapshot)

• DD snapshot:

• PD snapshot:

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5. Time Series Approach (PASOS 9–13)

Para cada fecha con inputs válidos (252 en total) se resuelven las ecuaciones de Merton y se obtienen:

• $V_t$: valor de activos
• $\sigma_{V,t}$: volatilidad de activos
• $DD_t$: distance to default
• $PD_t$: probabilidad de default a 1 año

Coherencia numérica:

• Fechas con Merton convergente: 252 de 252.
• Todas las PD truncadas a [0,1].

Estadísticos de DD y PD (serie temporal):

• Distancia a default:

  • $DD_{\min} \approx 2.64$
  • $DD_{\max} \approx 4.61$
  • $DD_{\mathrm{media}} \approx 3.72$
  • $DD_{\mathrm{mediana}} \approx 3.73$

• Probabilidad de default:

  • $PD_{\min} \approx 2.0\times 10^{-6}$ (0.0002 %)
  • $PD_{\max} \approx 0.00420$ (0.42 %)
  • $PD_{\mathrm{media}} \approx 0.00068$ (0.068 %)
  • $PD_{\mathrm{mediana}} \approx 9.5\times 10^{-5}$ (0.0095 %)

Gráficos 7–10

• Asset value $V_t$:

• Volatilidad de activos $\sigma_{V,t}$:

• Distance to Default $DD_t$:

• Probability of Default $PD_t$:

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6. Comparación Single Point vs Time Series (PASO 14)

Posición relativa del snapshot dentro de la historia:

• DD snapshot:

  • Valor: 2.64
  • Percentil histórico $\approx 79.4$ → El snapshot está en la parte más débil del histórico de DD (cerca del mínimo, peor 20 %).

• PD snapshot:

  • Valor: 0.00418
  • Percentil histórico $\approx 99.6$ → El snapshot coincide prácticamente con la PD más alta de toda la serie.

Es decir: el modelo estático (single point en 2016-12-30) está evaluando un momento de estrés relativo, y por tanto sobreestima el riesgo de crédito medio frente al modelo dinámico.

Gráfico 11 – Comparación PD snapshot vs PD_t:

Conclusión clave:

• El single-point model es muy sensible a la fecha elegida.
• El time-series model muestra que, en la mayoría del período, la PD es mucho menor (media 0.068 %, mediana 0.0095 %), por lo que el snapshot final parece un escenario de cola.

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7. Análisis de periodos de estrés (PASO 15)

Criterios de estrés:

1. Caídas fuertes de equity: returns por debajo de media – 3 desviaciones típicas.
2. Alta volatilidad: sigma_E en el top 10 % de su distribución.

Con esto se generan fechas de estrés y se extraen las 5 peores por PD:

Top 5 días de estrés (por PD)

• Todos concentrados en diciembre 2016.
• Valores aproximados (del JSON top5_stress):

Gráfico 12 – PD en periodos de estrés:

Lectura:

• El estrés se concentra en un cluster al final de la muestra, con equity relativamente bajo y liabilities altas (40M).
• Ahí la PD sube hacia 0.4 %, pero sigue siendo baja en términos absolutos.

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8. Sensibilidad (PASO 16)

Se ha hecho sensibilidad alrededor del snapshot:

8.1. PD vs leverage (vía E y D)

• Se varía:
  • Multiplicadores de Equity: de 0.5 a 1.5.
  • Multiplicadores de Liability: de 0.5 a 1.5.
• Se recalibra Merton en cada escenario y se calcula PD.
• Ejemplos de escenarios (de sens_leverage_samples):

Gráfico 13 (parte 1) – PD vs Leverage:

Conclusión: A mayor apalancamiento (V/D más bajo), la PD sube de manera suave pero clara.

8.2. PD vs volatilidad del equity

• Se escala $\sigma_E$ desde 0.5× hasta 2× su valor snapshot.
• Se recalibra Merton en cada caso.

Ejemplo (de sens_vol_samples):

Gráfico 13 (parte 2) – PD vs Volatilidad:

Conclusión: La PD es extremadamente convexa frente a la volatilidad. Pequeños incrementos de sigma_E pueden disparar la PD.

8.3. Sensibilidad a tipos (Rate)

• Se perturba $r$ ± 10 y ± 5 pb:
  • Efecto sobre PD moderado:
  • Con -1 % → PD ≈ 0.00423
  • Con +1 % → PD ≈ 0.00412
• La PD es menos sensible a tipos que a volatilidad o apalancamiento.

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9. Validación (PASO 17)

Cheques básicos:

• $V_t > 0$ para todas las fechas válidas.
• $\sigma_{V,t} > 0$ siempre que Merton converge.
• $0 \le PD_t \le 1$ para toda la serie.
• No se detectan saltos extremos en DD o PD que no estén motivados por movimientos en equity/volatilidad.
• Número de fechas con solución Merton válida: 252 de 252.

No aparecen anomalías estructurales importantes.

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10. Exportación y reporting (PASOS 18–19)

Se ha generado un paquete completo de outputs:

10.1. Ficheros de resultados

• Excel principal con todo el framework:

  Download file

  Contiene hojas:

  • clean_time_series: Equity, Liability, Rate, returns y sigma_E.
  • returns_sigmaE: returns y volatilidad rolling.
  • merton_time_series: V_t, sigma_V_t, DD_t, PD_t, success.
  • snapshot_results: snapshot detallado.
  • stress_episodes: días de estrés.
  • sens_PD_vs_leverage, sens_PD_vs_vol, sens_PD_vs_rate.

• CSVs:

  • Time series limpia:

  Download file

  • Resultados Merton time series:

  Download file

• Mini-report HTML resumido:

  Download file

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11. Conclusiones clave para tu objetivo

1. Workflow completo Merton

   • Se han implementado todos los pasos que pedías (1–19): lectura y limpieza, construcción de series, volatilidad rolling, calibración Merton snapshot y time-series, DD y PD, análisis de estrés, sensibilidad, validación y reporting.

2. Single Point vs Time Series

   • El single-point en 2016-12-30 muestra una PD ~0.42 % situada en el percentil 99.6 de la historia: es un escenario muy estresado.
   • El modelo dinámico indica que la PD típica es mucho más baja (media ~0.07 %, mediana ~0.01 %).
   • Conclusión: el riesgo de usar solo un snapshot puede sesgar la visión de crédito si la fecha elegida es de estrés.

3. Drivers de riesgo

   • La PD es muy sensible a:
   • Volatilidad del equity (convexidad fuerte).
   • Leverage (V/D).
   • Es poco sensible a cambios razonables en el tipo libre de riesgo.

4. Uso práctico

   • Puedes usar el Excel y los HTML para:
   • Integrar el framework en tu propio código.
   • Construir dashboards comparando PD snapshot vs PD_t.
   • Evaluar escenarios de estrés y sensibilidad para riesgo de crédito estructural.

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Si quieres, en el siguiente paso puedo:

• Adaptar el código/lógica para un universo de múltiples empresas.
• Cambiar el horizonte $T$ (por ejemplo 3 meses, 5 años) y recalcular todo.
• Incorporar diferentes definiciones de deuda (por ejemplo, corto vs largo plazo) para refinar $D_t$.
  

Explicación muy simple del estudio

El estudio hace, en esencia, cuatro cosas:

1. Toma la serie histórica de una empresa

   • Equity (valor de mercado)
   • Deuda (liabilities)
   • Tipo libre de riesgo

2. Calcula el riesgo de crédito con el modelo de Merton de dos formas

   • Single Point: solo en una fecha concreta (un “snapshot”).
   • Time Series: en todas las fechas, construyendo una serie temporal.

3. De cada versión del modelo obtiene

   • Valor de los activos de la empresa.
   • Volatilidad de esos activos.
   • Distance to Default (DD).
   • Probabilidad de Default (PD) a 1 año.

4. Compara y analiza

   • Compara la PD y la DD del snapshot con las PD y DD históricas.
   • Identifica periodos de estrés (caídas del equity / alta volatilidad).
   • Estudia cómo cambia la PD si varía el equity, la deuda, la volatilidad o los tipos.

Resultado: un framework completo para ver cómo cambia el riesgo de crédito estructural de la empresa en el tiempo y qué tan representativo (o extremo) es un cálculo estático en una sola fecha.